El Libre Albedrío

En esta página voy a tratar sólo algunos aspectos de esta revolucionaria teoría. El objetivo principal del enfoque a realizar es el de generar una base adecuada de discusión para ayudar a resolver la polémica entre Determinismo y Libre Albedrío.

En primer lugar quiero luchar contra una idea muy arraigada en el manejo de la información: Que la exactitud de los resultados puede mejorarse indefinidamente, mejorando las herramientas de medición y cálculo. Y la teoría del caos ha arrojado mucha luz en este aspecto.

En general una gran parte de la información que recibimos de pequeños, solemos usarla en forma dogmática durante nuestra existencia adulta. No me refiero, en este caso, a la información que vamos actualizando, sino a los conceptos globales.

A modo de ejemplo puedo mencionar que si nuestra infancia transcurrió en un ambiente de paz y prosperidad, damos por sentado que ese es el estado natural de las sociedades humanas. Y, si en nuestra vida adulta, la prosperidad se transforma en guerras, tardamos un tiempo en reacomodar nuestras ideas y durante mucho tiempo seguimos aferrados a la idea de que el cambio es transitorio y el estado “verdadero” es el que conocimos en nuestra niñez.

Lo mismo ocurre con otras informaciones (intelectuales o emocionales) que recibimos en nuestra infancia. Y entre la información que recibimos de pequeños figuran los conceptos matemáticos. Y quizás el concepto global más importante que adquirimos desde el comienzo es el de que las Matemáticas son “Exactas”.

Con el tiempo recibimos otro concepto muy importante: Las Matemáticas sirven para describir el mundo físico. Y cuando este concepto se une al anterior, es fácil que generalicemos las ideas aceptando que la realidad física es intrínsecamente exacta. Puede ser que en un caso determinado no podamos medir con toda la exactitud que deseemos, pero no albergamos dudas de que existe una exactitud subyacente, basada en la exactitud de las matemáticas. 2 + 2 es 4 y nos reiríamos del que afirmara que este resultado puede ser 3 ó 3.999999. Sin embargo 2 piedras más 2 piedras, cuando las apilamos pueden dar lugar a 4 piedras y algunos granos sueltos (piedritas??).

Entendemos perfectamente lo que significa que alguien afirme que pesa 80.5 Kg. También es razonable que aceptemos que un boxeador pesa 75.125 Kg (sabemos que este peso sólo es válido en el momento del pesaje). Pero que opinaríamos de una persona que afirmara pesar 78.12456897355568793 Kg?. No parece razonable, verdad?. Con cada exhalación eliminamos vapor de agua y dióxido de carbono en cantidades mayores a 0.0000001 Kg, con lo cual dejamos sin valor las últimas 10 cifras del peso mencionado. Y en este punto es donde quiero empezar a discutir algunos conceptos fundamentales.

Pregunta: Pese a que el valor cambia continuamente, en cada momento podemos afirmar que poseemos un peso expresable con 20 cifras significativas?.

Respuesta: Basados en la exactitud de las matemáticas estamos tentados a responder que sí. Que no podemos conocer el valor, pero que existe en cada momento un valor perfectamente determinado.

Pero qué pasa si queremos expresar un peso con 40 cifras significativas?. En este caso estamos extendiendo la medición hasta valores miles de millones más pequeños que el peso de un átomo individual. Y hablando de átomos individuales: una molécula de dióxido de carbono ya expulsada del torrente sanguíneo, en qué momento deja de pertenecer a nuestro cuerpo?.

Observación Fundamental: Si empleamos un peso de 80.5 Kg en nuestras cuentas, en realidad, matemáticamente estamos empleando el número 80.5000000000000000000000000...... Y acá es donde conviene comenzar a replantearse el empleo de las matemáticas para describir la realidad física. Porque si no especificamos 100, 200 o un millón de cifras significativas, y hacemos cuentas con números redondos, en realidad estamos empleando ceros para completar las cifras significativas que no conocemos.

Por supuesto que toda persona que trabaja con datos experimentales sabe que no puede obtener resultados con mayor cantidad de cifras significativas que las que le permiten sus mediciones experimentales. Pero la pregunta vuelve a ser la misma: Aunque no dispongamos de 100 cifras significativas (y en ninguna medición real se superan las 10 cifras significativas), éstas cifras existen?.

(NOTA: Cifras significativas son las que tienen significado con independencia de las unidades de medición. El valor 0.00000123 cm está expresado sólo con tres cifras significativas, pues los ceros son sólo el resultado del empleo de determinadas unidades)

Para ser más específico: Si dos cuerpos chocan entre sí, aunque no podamos medir su masa con mayor exactitud que 6 cifras significativas, podemos afirmar que las leyes que rigen la colisión responden a valores de masa expresados con 50 cifras significativas? (o con un millón de cifras)?. O para la naturaleza existe un grado máximo de exactitud, a partir del cual la respuesta es indeterminada?.

De modo que ahora puedo formular la PREGUNTA (para la que no tengo respuesta) y que posiblemente es la causante principal de que yo esté escribiendo esta página.

Con cuántas cifras significativas trabaja la naturaleza ?

(NOTA: También hay una segunda pregunta relacionada a la primera: Tiene sentido la pregunta anterior?)

Todo esto no pasaría de ser un juego intelectual si no hubiera aparecido en escena la teoría del Caos. Porque después de todo: Qué me importan las cifras significativas que no puedo medir ni en los datos ni los resultados experimentales?. Pero resulta que la teoría del Caos puso de manifiesto que existen numerosos sistemas reales donde la respuesta a un estímulo varía en forma manifiesta con cambios minúsculos en las condiciones iniciales. Qué tan minúsculos?. Podemos verlo con ejemplos.

Ejemplo de comportamiento Caótico.

Supongamos que en un recipiente se tiene una cierta cantidad de bacterias se reproducen y mueren de tiempo en tiempo de acuerdo con reglas simples.

De modo que al final del intervalo se tienen : 4 * N - 4 * 10^-8 * N² Bacterias. Y este número de bacterias da lugar a una nueva cantidad de bacterias (luego del mismo intervalo de tiempo) de acuerdo con las mismas leyes.

Veamos lo que ocurre, en función del tiempo, cuando se inicia el estudio con 60,000,000 bacterias o con 60,000,001 bacterias

Intervalo	Cantidad de Bacterias		Diferencia en el Número de Bacterias
Intervalo	Caso 1	Caso 2	Diferencia en el Número de Bacterias
1	60,000,000	60,000,001	-1
2	96,000,000	95,999,999	1
3	15,360,000	15,360,003	-3
4	52,002,816	52,002,824	-8
5	99,839,549	99,839,548	1
6	640,774	640,779	-5
7	2,546,671	2,546,692	-21
8	9,927,264	9,927,342	-78
9	35,767,032	35,767,283	-250
10	91,896,905	91,897,190	-285
11	29,785,973	29,785,017	956
12	83,655,725	83,654,179	1,546
13	54,691,687	54,695,849	-4,162
14	99,119,523	99,117,960	1,563
15	3,490,899	3,497,040	-6,141
16	13,476,141	13,498,989	-22,848
17	46,640,309	46,707,048	-66,739
18	99,548,499	99,566,259	-17,760
19	1,797,850	1,727,440	70,410
20	7,062,109	6,790,398	271,711
21	26,253,499	25,317,211	936,289
22	77,444,148	75,630,396	1,813,752
23	69,872,750	73,723,312	-3,850,562
24	84,202,953	77,488,179	6,714,773
25	53,206,321	69,776,000	-16,569,679

Analizando el comportamiento del sistema resulta que una sola bacteria en 60 millones hace fluctuar la cantidad de bacterias en el tiempo en magnitudes no imaginables originalmente. Y el problema persiste aunque se empiece con cambios mucho más pequeños.

En este punto cabe aclarar que si se emplean diferentes computadoras o programas de cálculo la respuesta puede ser diferente, pues el resultado depende de la forma de redondeo decimal que emplee el sistema de trabajo.

Bien, tratando de empezar a responder la PREGUNTA, imagino dos respuestas posibles:

La respuesta "1" (a la que hubiera adherido fervientemente hasta no hace muchos años), me resulta totalmente insatisfactoria en la actualidad. Esta respuesta implica que si una masa "A" choca contra otra masa "B" de 50.000000000000000000000000000000000000000000000000 g se obtiene una respuesta diferente a la que se obtendría si la masa "B" tuviera 50.000000000000000000000000000000000000000000000001 g.

Para hacer esa afirmación primero se debe aceptar que pueden existir masas que difieran sólo en 10^-48 g . A modo de ejemplo: un protón pesa alrededor de 10^-24 g).

Y si alguien cree que es una limitación mía la de concebir masas tan pequeñas, piense en 10^-100 g ó 10^-10000 g. Y la cantidad de ceros de 10^-10000 g (diez mil) están tan lejos de las de una masa "infinitesimal" como las de 0.01 g.

Suponiendo que se pudieran diferenciar masas que difieren en 10^-1000000 g, supongo que en algún momento la naturaleza dejaría de responder a los cambios de ese orden. Y en ese caso.

Y en cualquiera de los dos casos la naturaleza no emplearía infinitas cifras significativas.

Por lo tanto, me quedo con la segunda alternativa: La naturaleza emplea sólo una cantidad máxima de cifras significativas.

Y entonces (aunque hayamos eliminado la molestia de los infinitos) surge nuevamente la pregunta fundamental: Esas cifras significativas son exactas (deterministas) o tienen cierto grado de indeterminación intrínseca?.